Trois répétitions

À la sortie d'un contrôle, on demande à trois élèves s'ils ont réussi à faire tous les exercices proposés. On note l'événement \(S\) : "L'élève a réussi à faire tous les exercices."

1. Décrire l'événement \(\overline{S}\).

2. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, l'issue \((S;S;\overline{S})\). \((S;S;\overline{S})\) s'appelle un triplet.

3. Construire un arbre illustrant la situation puis décrire toutes les issues qui constituent l'univers.

4. Lister toutes les issues de l'univers qui indiquent qu'exactement \(2\) élèves sur les \(3\) interrogés ont terminé tous les exercices.

5. On note \(A\) l'événement : "Exactement \(2\) élèves ont terminé tous les exercices du contrôle." Décrire cet événement sous la forme d'un ensemble. En déduire \(P(A)\).

6. On note \(B\) l'événement : "Au moins un élève a terminé tous les exercices du contrôle." Décrire cet événement sous la forme d'un ensemble. En déduire \(P(B)\).

7. Décrire l'événement \(\overline{B}\) sous la forme d'une phrase puis sous la forme d'un ensemble. Déterminer \(P(\overline{B})\).